Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 24
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;-1;3)$, $B(2;1;0)$, $C(-3;-1;-3)$ và $(P):x+y-z-4=0$. Điểm $M(a;b;c)\in(P)$ sao cho $T=|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất. Tính $a+b+c$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ thỏa $3\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$. Từ tọa độ suy ra $I(-2;-3;3)$. Khi đó
$3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$,
nên $T$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc $(P)$ có tham số $(-2+t;-3+t;3-t)$. Thay vào $(P)$ được $t=4$, nên $M(2;1;-1)$. Vậy $a+b+c=2$.
$3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$,
nên $T$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc $(P)$ có tham số $(-2+t;-3+t;3-t)$. Thay vào $(P)$ được $t=4$, nên $M(2;1;-1)$. Vậy $a+b+c=2$.