Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } +ax+b } { x-1 } $ và $ g\left ( { x } \right )=x+a $ ($ a,b $ là các tham số).

a) Sai $ \lim\limits_{ x\to +\infty } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { x ^ { 2 } +ax+b } { x-1 }=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { x ^ { 2 } \left ( { 1+\frac { a } { x }+\frac { b } { x ^ { 2 } } } \right ) } { x\left ( { 1-\frac { 1 } { x } } \right ) }=\lim\limits_{ x\to +\infty } x\frac { 1+\frac { a } { x }+\frac { b } { x ^ { 2 } } } { 1-\frac { 1 } { x } }=+\infty $ Vì $ \lim\limits_{ x\to +\infty } x=+\infty $ và $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { 1+\frac { a } { x }+\frac { b } { x ^ { 2 } } } { 1-\frac { 1 } { x } }=1 $ b) Đúng $ \lim\limits_{ x\to -\infty } \left[ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) \right]=\lim\limits_{ x\to -\infty } \left[ \frac { x ^ { 2 } +ax+b } { x-1 }-\left ( { x+a } \right ) \right]=\lim\limits_{ x\to -\infty } \frac { x+a+b } { x-1 }=1 $ c) Sai $ \lim\limits_{ x\to 2 } g\left ( { x } \right )=2+a=0⇒a=-2 $ $ \lim\limits_{ x\to 2 } f\left ( { x } \right )=\frac { 4+2a+b } { 2-1 }=4+2a+b=-3⇒b=-3-4-2a=-2a-7 $ Với $ a=-2 $ ta có $ b=-2\left ( { -2 } \right )-7=-3 $. Do đó $ a=-2 $, $ b=-3 $, suy ra $ a\neq b $. d) Sai $ \lim\limits_{ x\to 1 } f\left ( { x } \right )=5 $ hữu hạn nên $ x=1 $ là nghiệm của tử số $ x ^ { 2 } +ax+b $, tức là $ 1+a+b=0⇒b=-1-a $. Khi đó $ x ^ { 2 } +ax+b=\left ( { x-1 } \right )\left ( { x+a+1 } \right ) $ nên với $ x\neq 1 $: $ f\left ( { x } \right )=x+a+1 $. $ \lim\limits_{ x\to 1 } f\left ( { x } \right )=1+a+1=a+2=5⇒a=3 $ $ ⇒b=-1-3=-4 $ Do đó $ a+b=3+\left ( { -4 } \right )=-1\neq 1 $.