Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 13
Cho ba số thực dương $x, y, z$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương $a (a\neq 1)$ thì $\log_{a}x, \log_{\sqrt{a}}y, \log_{\sqrt[3]{a}}z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{1959x}{y}+\frac{2019y}{z}+\frac{60z}{x}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $x, y, z$ là ba số thực dương, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì $y^{2}=x.z (1)$.
Với mỗi số thực $a (a\neq 1), \log_{a}x, \log_{\sqrt{a}}y, \log_{\sqrt[3]{a}}z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì
$2\log_{\sqrt{a}}y=\log_{a}x+\log_{\sqrt[3]{a}}z\Leftrightarrow 4\log_{a}y=\log_{a}x+3\log_{a}z (2)$.
Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được $2\log_{a}x.z=\log_{a}x+3\log_{a}z\Leftrightarrow \log_{a}x=\log_{a}z\Leftrightarrow x=z$.
Từ $(1)$ ta suy ra $y=x=z$.
Thay vào giả thiết thì $P=1959+2019+60=4038$.
Với mỗi số thực $a (a\neq 1), \log_{a}x, \log_{\sqrt{a}}y, \log_{\sqrt[3]{a}}z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì
$2\log_{\sqrt{a}}y=\log_{a}x+\log_{\sqrt[3]{a}}z\Leftrightarrow 4\log_{a}y=\log_{a}x+3\log_{a}z (2)$.
Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được $2\log_{a}x.z=\log_{a}x+3\log_{a}z\Leftrightarrow \log_{a}x=\log_{a}z\Leftrightarrow x=z$.
Từ $(1)$ ta suy ra $y=x=z$.
Thay vào giả thiết thì $P=1959+2019+60=4038$.