Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 12
Cho các số thực dương $x,\,y,\,z$ thỏa mãn đồng thời $\frac{1}{\log_{2}x}+\frac{1}{\log_{2}y}+\frac{1}{\log_{2}z}=\frac{1}{2020}$ và $\log_{2}(xyz)=2020$. Tính $\log_{2}\left( xyz\left( x+y+z \right)-xy-yz-zx+1 \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $a=\log_{2}x;\,b=\log_{2}y;\,c=\log_{2}z$.
Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2020}$ và $a+b+c=2020$
$\begin{array}{l} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)=1\Leftrightarrow \left( a+b+c \right)\left( ab+ac+bc \right)=abc \\ \Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+abc+abc+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}=0 \\ \Leftrightarrow \left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=0 \end{array}$
Vì vai trò $a,\,b,\,c$ như nhau nên giả sử $a+b=0\Rightarrow c=2020\Rightarrow z=2^{2020}$ và $xy=1$.
$\begin{array}{l} \log_{2}\left( xyz\left( x+y+z \right)-xy-yz-zx+1 \right)=\log_{2}\left( z(x+y+z)-1-yz-zx+1 \right) \\ =\log_{2}\left( z^{2} \right)=2\log_{2}z=4040 \end{array}$
Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2020}$ và $a+b+c=2020$
$\begin{array}{l} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)=1\Leftrightarrow \left( a+b+c \right)\left( ab+ac+bc \right)=abc \\ \Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+abc+abc+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}=0 \\ \Leftrightarrow \left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=0 \end{array}$
Vì vai trò $a,\,b,\,c$ như nhau nên giả sử $a+b=0\Rightarrow c=2020\Rightarrow z=2^{2020}$ và $xy=1$.
$\begin{array}{l} \log_{2}\left( xyz\left( x+y+z \right)-xy-yz-zx+1 \right)=\log_{2}\left( z(x+y+z)-1-yz-zx+1 \right) \\ =\log_{2}\left( z^{2} \right)=2\log_{2}z=4040 \end{array}$