Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 11
Cho $f\left( 1 \right)=1$, $f\left( m+n \right)=f\left( m \right)+f\left( n \right)+mn$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$. Tính giá trị của biểu thức $T=\log\left[ \frac{f\left( 96 \right)-f\left( 69 \right)-241}{2} \right]$.
Xem lời giải
Lời giải
Có $f\left( 1 \right)=1$, $f\left( m+n \right)=f\left( m \right)+f\left( n \right)+mn$
$\Rightarrow f\left( 96 \right)=f\left( 95+1 \right)=f\left( 95 \right)+f\left( 1 \right)+95=f\left( 95 \right)+96=f\left( 94 \right)+95+96=...=f\left( 1 \right)+2+...+95+96\Rightarrow f\left( 96 \right)=1+2+...+95+96=\frac{96.97}{2}=4656$.
Tương tự $f\left( 69 \right)=1+2+...+68+69=\frac{69.70}{2}=2415$.
Vậy $T=\log\left[ \frac{f\left( 96 \right)-f\left( 69 \right)-241}{2} \right]=\log\left( \frac{4656-2415-241}{2} \right)=\log 1000=3$.
$\Rightarrow f\left( 96 \right)=f\left( 95+1 \right)=f\left( 95 \right)+f\left( 1 \right)+95=f\left( 95 \right)+96=f\left( 94 \right)+95+96=...=f\left( 1 \right)+2+...+95+96\Rightarrow f\left( 96 \right)=1+2+...+95+96=\frac{96.97}{2}=4656$.
Tương tự $f\left( 69 \right)=1+2+...+68+69=\frac{69.70}{2}=2415$.
Vậy $T=\log\left[ \frac{f\left( 96 \right)-f\left( 69 \right)-241}{2} \right]=\log\left( \frac{4656-2415-241}{2} \right)=\log 1000=3$.