Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 14
Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{2x}{1-x} \right)$ và hai số thực $m, n$ thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$ sao cho $m+n=1$. Tính $f\left( m \right)+f\left( n \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
$f\left( m \right)+f\left( n \right)=\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{2m}{1-m} \right)+\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{2n}{1-n} \right)$
$=\frac{1}{2}\left[ \log_{2}\left( \frac{2m}{1-m} \right)+\log_{2}\left( \frac{2n}{1-n} \right) \right]$
$=\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{2m}{1-m}.\frac{2n}{1-n} \right)$
$=\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{4mn}{1-m-n+mn} \right)$, vì $m+n=1$
$=\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{4mn}{mn} \right)=\frac{1}{2}\log_{2}4=\frac{1}{2}.2=1$.
$=\frac{1}{2}\left[ \log_{2}\left( \frac{2m}{1-m} \right)+\log_{2}\left( \frac{2n}{1-n} \right) \right]$
$=\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{2m}{1-m}.\frac{2n}{1-n} \right)$
$=\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{4mn}{1-m-n+mn} \right)$, vì $m+n=1$
$=\frac{1}{2}\log_{2}\left( \frac{4mn}{mn} \right)=\frac{1}{2}\log_{2}4=\frac{1}{2}.2=1$.