Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 15
Gọi $n$ là số nguyên dương sao cho $\frac{1}{\log_{3}x}+\frac{1}{\log_{3^{2}}x}+\frac{1}{\log_{3^{3}}x}+...+\frac{1}{\log_{3^{n}}x}=\frac{190}{\log_{3}x}$ đúng với mọi $x$ dương, $x\neq 1$. Tìm giá trị của biểu thức $P=2n+3$.
Xem lời giải
Lời giải
$\begin{array}{l} \frac{1}{\log_{3}x}+\frac{1}{\log_{3^{2}}x}+\frac{1}{\log_{3^{3}}x}+...+\frac{1}{\log_{3^{n}}x}=\frac{190}{\log_{3}x} \\ \Leftrightarrow \log_{x}3+2\log_{x}3+3\log_{x}3+...+n\log_{x}3=190\log_{x}3 \\ \Leftrightarrow \log_{x}3\left( 1+2+3+...+n \right)=190\log_{x}3 \\ \Leftrightarrow 1+2+3+...+n=190 \\ \Leftrightarrow \frac{n\left( n+1 \right)}{2}=190 \end{array}$
$\Leftrightarrow n^{2}+n-380=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n=19 \\ n=-20 \end{array} \right.\Rightarrow n=19$ (do $n$ nguyên dương) $\Rightarrow P=2n+3=41$
$\Leftrightarrow n^{2}+n-380=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n=19 \\ n=-20 \end{array} \right.\Rightarrow n=19$ (do $n$ nguyên dương) $\Rightarrow P=2n+3=41$