(CD10) Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB=a,BC=b$, $AC=m,BD=n$. Chứng minh: $m^2+n^2=2(a^2+b^2)$. [IMAGE:question_images/10-8. HE THUC LUONG TRONG TAM GIAC/B. TU LUAN - DA/image369.png]

Question

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức (CD10) Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB=a,BC=b$, $AC=m,BD=n$. Chứng minh: $m^2+n^2=2(a^2+b^2)$. [IMAGE:question_images/10-8. HE THUC LUONG TRONG TAM GIAC/B. TU LUAN - DA/image369.png]

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đặt $\widehat{ABC}=\alpha$, ta có: $\widehat{BAD}=180^\circ-\alpha$. Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lí côsin ta có: $AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot\cos\widehat{ABC}$ $\Rightarrow m^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$. Xét tam giác $ABD$, áp dụng định lí côsin ta có: $BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot\cos\widehat{BAD}$ $\Rightarrow n^2=a^2+b^2-2ab\cos(180^\circ-\alpha)=a^2+b^2+2ab\cos\alpha$. Vậy $m^2+n^2=(a^2+b^2-2ab\cos\alpha)+(a^2+b^2+2ab\cos\alpha)=2(a^2+b^2)$.

Bài tự luận Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 35