Bài tập nâng cao · Bài 32
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 32
(Sở Bạc Liêu - 2021) Cho hàm số $y=f(x)=x^3+ax^2+bx-3$, $a$, $b$ là các số thực thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} a+b-2>0 \\ 24+3(3a+b)<0 \end{array} \right.$. Hỏi phương trình $2f(x)f''(x)=[f'(x)]^2$ có bao nhiêu nghiệm?
Xem lời giải
Lời giải
Không mất tính tổng quát, chọn $a=-\frac{33}{4}$, $b=14$. Khi đó: Hai số $a$, $b$ thỏa hệ $\left\{ \begin{array}{l} a+b-2>0 \\ 24+3(3a+b)<0 \end{array} \right.$.
Ta có: $f(x)=x^3-\frac{33}{4}x^2+14x-3$, $f'(x)=3x^2-\frac{33}{2}x+14$, $f''(x)=6x-\frac{33}{2}$.
Xét: $2f(x)f''(x)=[f'(x)]^2\Leftrightarrow 3x^4-33x^3+84x^2-36x-97=0$ (*).
Vậy: $(*)$ có 2 nghiệm thực.
Ta có: $f(x)=x^3-\frac{33}{4}x^2+14x-3$, $f'(x)=3x^2-\frac{33}{2}x+14$, $f''(x)=6x-\frac{33}{2}$.
Xét: $2f(x)f''(x)=[f'(x)]^2\Leftrightarrow 3x^4-33x^3+84x^2-36x-97=0$ (*).
Vậy: $(*)$ có 2 nghiệm thực.