(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ $(a,b,c,d\in\mathbb{R})$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm của phương trình $f(f(\sqrt{f(x)})+f(x)+2\sqrt{f(x)})-f(1)=0$ là?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $t=\sqrt{f(x)}$, $t\geq0$.
Ta có: $f(f(t)+t^2+2t)-f(1)=0$ (*).
Xét $t=0$: $(*)\Leftrightarrow f(0)-f(1)=0$ (không thỏa).
Xét $t>0$: Ta có $f(t)>0$ và $f(t)+t^2+2t>0$.
Theo đồ thị, hàm $f(u)$ đồng biến trên $(0;+\infty)$.
Do đó, $(*)\Leftrightarrow f(f(t)+t^2+2t)=f(1)\Leftrightarrow f(t)+t^2+2t=1$.
$\Leftrightarrow f(t)=1-t^2-2t$.
$\Leftrightarrow f(t)=g(t)$ (**) (với $g(t)=1-t^2-2t,t>0$).
Vì hàm $f(t)$ đồng biến và $g(t)$ nghịch biến trên $(0;+\infty)$ nên phương trình (**) có nghiệm duy nhất $t=\alpha$.
Theo đồ thị hàm $f(t),g(t)$ ta có $\alpha\in(0;1)$.
Khi đó, $t=\alpha\Leftrightarrow f(x)=\alpha^2$, $\alpha^2\in(0;1)$ (***).
Vì đồ thị hàm $f(x)$ cắt đường thẳng $y=\alpha^2$ tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (***) có 3 nghiệm phân biệt.
