Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 30

$f(x^3f(x))+1=0\Leftrightarrow f(x^3f(x))=-1$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^3f(x)=0 \\ x^3f(x)=a>0 \\ x^3f(x)=b>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ f(x)=0 \\ f(x)=\frac{a}{x^3}\quad(\text{do }x\neq0) \\ f(x)=\frac{b}{x^3}\quad(\text{do }x\neq0) \end{array} \right..$

$f(x)=0$ có một nghiệm dương $x=c$.
Xét phương trình $f(x)=\frac{k}{x^3}$ với $x\neq0, k>0$.
Đặt $g(x)=f(x)-\frac{k}{x^3}$.
$g'(x)=f'(x)+\frac{3k}{x^4}$.
Với $x>c$, nhìn hình ta ta thấy $f'(x)>0 \Rightarrow g'(x)=f'(x)+\frac{3k}{x^4}>0$.
$\Rightarrow g(x)=0$ có tối đa một nghiệm.
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l} g(c)<0 \\ \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \end{array} \right.$ và $g(x)$ liên tục trên $(c;+\infty)$.
$\Rightarrow g(x)=0$ có duy nhất nghiệm trên $(c;+\infty)$.
Với $0<x<c$ thì $f(x)<0<\frac{k}{x^3} \Rightarrow g(x)=0$ vô nghiệm.
Với $x<0$, nhìn hình ta ta thấy $f'(x)>0 \Rightarrow g'(x)=f'(x)+\frac{3k}{x^4}>0$.
$\Rightarrow g(x)=0$ có tối đa một nghiệm.
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to0^-}g(x)>0 \\ \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty \end{array} \right.$ và $g(x)$ liên tục trên $(-\infty;0)$.
$\Rightarrow g(x)=0$ có duy nhất nghiệm trên $(-\infty;0)$.
Tóm lại $g(x)=0$ có đúng hai nghiệm trên $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Suy ra hai phương trình $f(x)=\frac{a}{x^3}$, $f(x)=\frac{b}{x^3}$ có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác $c$.
Vậy phương trình $f(x^3f(x))+1=0$ có đúng 6 nghiệm.