Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ, khoảng cách hai điểm, góc giữa hai vectơ
Phương pháp:
Với hai điểm $ A,B $ phân biệt, ta có $ \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } =\|\overset\rightarrow { AB }\| ^ { 2 } $, do đó $ AB=\sqrt[] { \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } } $.
Với hai vectơ khác vectơ $ 0 $, sử dụng công thức $ cos(a,b)=\frac { a\cdot b } { \|a\|\cdot \|b\| } $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 17
(KNTT10) Cho tam giác đều $ABC$ tâm $O$, có độ dài các cạnh bằng $1$.
a) Xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{CB}$.
b) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{CB}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do tam giác $ABC$ đều, nên $\widehat{CAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCA}=60^{\circ}$.
Suy ra $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\widehat{CAB}=60^{\circ}$.
Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $CA$. Khi đó tứ giác $ABCD$ là một hình thoi, do đó $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ và $\widehat{BAD}=180^{\circ}-\widehat{ABC}=120^{\circ}$.
Suy ra $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}=120^{\circ}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $N$ là trung điểm của $OA$, $P$ là điểm đối xứng với $M$ qua $C$. Khi đó, do $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$, nên $A,N,O,M$ thẳng hàng, $AM\perp BC$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}$.
Suy ra $(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP})=90^{\circ}$.
Lấy điểm $Q$ đối xứng với $O$ qua $M$. Khi đó tứ giác $BOCQ$ là một hình thoi, có $\widehat{OCQ}=60^{\circ}$.
Suy ra $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{CB})=(\overrightarrow{CQ};\overrightarrow{CB})=\widehat{BCQ}=30^{\circ}$.
b) Do $AM\perp BC$ nên $AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}$.
Do $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$, nên $\|\overrightarrow{OA}\|=\|\overrightarrow{OB}\|=OA=\frac23AM=\frac23\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{3}$.
Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\|\overrightarrow{AC}\|\cdot\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=1\cdot1\cdot\cos60^{\circ}=\frac12$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\|\overrightarrow{BC}\|\cdot\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC})=1\cdot1\cdot\cos120^{\circ}=-\frac12$.
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\|\overrightarrow{OA}\|\cdot\|\overrightarrow{OB}\|\cdot\cos(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})=\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{3}\cdot\cos120^{\circ}=-\frac16$.
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=\|\overrightarrow{OA}\|\cdot\|\overrightarrow{BC}\|\cdot\cos(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{BC})=\frac{\sqrt3}{3}\cdot1\cdot\cos90^{\circ}=0$.
$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{CB}=\|\overrightarrow{OB}\|\cdot\|\overrightarrow{CB}\|\cdot\cos(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{CB})=\frac{\sqrt3}{3}\cdot1\cdot\cos30^{\circ}=\frac12$.
Nhận xét. Ta có thể xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{CB}$ như sau: Lấy $O'$ đối xứng với $O$ qua $B$ và $C'$ đối xứng với $C$ qua $B$.
