(THPT Diễn Châu 5 - Nghệ An 2025) Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, có đáy $ ABCD $ là hình vuông tâm $ O $. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng $ a $. Gọi $ M $ là trung điểm $ SC $. Tính số đo góc nhị diện $ \left[ A;BD;M \right] $ (tính theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị).

Ta có: $ ΔSBC=ΔSDC $ (đều cạnh $ a $), $ BM,DM $ là hai đường trung tuyến ứng với cạnh $ SC $. Do đó: $ BM=DM $. Suy ra: $ ΔBMD $ cân tại $ M $. Mà $ O $ là trung điểm $ BD $ nên $ MO⊥BD $ tại $ O $. Ta cũng có: $ AC⊥BD $ tại $ O $. Do đó: góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { BMD } \right ) $ và $ \left ( { ABCD } \right )= $ góc giữa $ OM $ và $ OC= \widehat { MOC } $. Ta lại có: $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ ΔSOC $ vuông tại $ O $. Mặt khác: $ OC=\frac { AC } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 };SO=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -OC ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Do đó, tam giác $ ΔSOC $ vuông cân tại $ O $. Nên đường trung tuyến $ OM $ cũng là đường phân giác. Do đó: $ \widehat { MOC }=45 ^ { \circ } $.