(Sở Thái Nguyên 2025) Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ 2a,SA⊥(ABCD) $ và $ SA=4a. $ Số đo góc nhị diện $ [B.SC,A] $ bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Ta có: $ BC⊥AB,BC⊥SA\,\,\left ( { SA⊥\left ( { ABCD } \right ) } \right )⇒BC⊥SB⇒ΔSBC $ vuông tại $ B. $ $ SA=4a,AB=2a,AC=2\sqrt[] { 2 }a,SC=2\sqrt[] { 6 }a,SB=2\sqrt[] { 5 }a. $ Xét tam giác vuông $ SAC $ có đường cao $ AM: $ $ AC ^ { 2 } =SC.CM⇔2AB ^ { 2 } =\sqrt[] { SA ^ { 2 } +AC ^ { 2 } }.CM⇔8a ^ { 2 } =2\sqrt[] { 6 }.a.CM⇔CM=\frac { 2a\sqrt[] { 6 } } { 3 }=\frac { SC } { 3 }. \\ AM=\frac { SA.AC } { SC }=\frac { 4a.2a\sqrt[] { 2 } } { 2a\sqrt[] { 6 } }=\frac { 4\sqrt[] { 3 } } { 3 }a. $ Xét tam giác vuông $ SBC $ có đường cao $ BN: $ $ BC ^ { 2 } =SC.CN⇔4a ^ { 2 } =2\sqrt[] { 6 }.a.CN⇔CN=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 }=\frac { SC } { 6 }. \\ BN=\frac { SB.BC } { SC }=\frac { \sqrt[] { SA ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }.BC } { SC }=\frac { \sqrt[] { 16a ^ { 2 } +4a ^ { 2 } }.2a } { 2a\sqrt[] { 6 } }=\frac { \sqrt[] { 30 } } { 3 }. \\ \frac { MH } { BN }=\frac { SM } { SN }=\frac { SC-\frac { SC } { 3 } } { SC-\frac { SC } { 6 } }=\frac { 4 } { 5 }⇒MH=\frac { 4 } { 5 }BN=\frac { 4 } { 5 }.\frac { \sqrt[] { 30 } } { 3 }=\frac { 4\sqrt[] { 30 } } { 15 }. $ (với Suy ra $ [B,SC,A]= \widehat { AMH } $ Xét tam giác $ SBN $ có: $ \frac { SH } { SB }=\frac { SM } { SN }⇔SH=\frac { SM.SB } { SN }=\frac { 4 } { 5 }.2\sqrt[] { 5 }a=\frac { 8\sqrt[] { 5 } } { 5 }a. $ Ta có: $ { \rm{ } }AH ^ { 2 } =SA ^ { 2 } +SH ^ { 2 } -2SA.SH.cos \widehat { ASH }=SA ^ { 2 } +SH ^ { 2 } -2.SA.SH.\frac { SA } { SB } \\ =16a ^ { 2 } +\frac { 64 } { 5 }a ^ { 2 } -2.\frac { 8\sqrt[] { 5 } } { 5 }.\frac { 16 } { 2\sqrt[] { 5 } }=\frac { 16 } { 5 }a ^ { 2 } ⇒AH=\frac { 4\sqrt[] { 5 } } { 5 }a. $ $ cos \widehat { AMH }=\frac { MA ^ { 2 } +MH ^ { 2 } -AH ^ { 2 } } { 2MA.MH }=\frac { \frac { 16 } { 3 }a ^ { 2 } +\frac { 32 } { 15 }a ^ { 2 } -\frac { 16 } { 5 }a ^ { 2 } } { 2.\frac { 4\sqrt[] { 3 } } { 3 }.a.\frac { 4\sqrt[] { 30 } } { 15 }a }=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 5 }⇒ \widehat { AMH }≈50,8°. $