(Sở Lào Cai 2025) Cho hình chóp $ SABCD $có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, $ AB=1,AD=\sqrt[] { 3 } $. Cạnh bên $ SA $vuông góc với đáy và $ SA=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Số đo góc phẳng nhị diện $ \left[ S;BD;C \right] $ bằng $ a ^ { 0 } $. Tìm giá trị $ a $?

Để tính góc phẳng nhị diện $ \left[ S;BD;C \right] $, ta đi tính góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { ABD } \right ) $ và $ \left ( { SBD } \right ) $. Trong $ \left ( { ABCD } \right ) $kẻ$ AH $vuông góc với $ BD $ tại $ H $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥AH \\ BD⊥AS \end{array} \right.⇒BD⊥\left ( { SAH } \right )⇒BD⊥SH $ Do vậy góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { ABD } \right ) $ và $ \left ( { SBD } \right ) $ là góc $ \widehat { SHA } $. Xét tam giác $ SHA $ vuông tại A và có $ SA=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $; $ AH=\frac { AB.AD } { BD }=\frac { 1.\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 1+\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $ nên tam giác $ SHA $ vuông cân tại $ A $, suy ra$ \widehat { SHA }=45 ^ { 0 } $. Khi đó $ \left[ S;BD;C \right]=180 ^ { 0 } -45 ^ { 0 } =135 ^ { 0 } $