Bài tự luận Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 30
(CTST12) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, bán kính 1 cm. Đặt $\widehat{A}=\alpha(0<\alpha<\pi)$.
a) Viết biểu thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $\alpha$.
b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $\widehat{MOC}=2\widehat{OAC}=\widehat{BAC}=\alpha$.
Do đó: $AM=AO+OM=1+\cos\alpha$, $BC=2MC=2\sin\alpha$.
Suy ra $S=\frac{1}{2}AM\cdot BC=\sin\alpha(1+\cos\alpha)$
b) $S'=\cos\alpha(1+\cos\alpha)-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha+\cos\alpha-1$;
$S'=0\Leftrightarrow\cos\alpha=-1$ hoặc $\cos\alpha=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow\alpha=\pi$ (loại) hoặc $\alpha=\frac{\pi}{3}$
Lập bảng biến thiên, ta có $\max_{(0;\pi)}S=S\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (cm$^2$).
