Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 10
Giải bất phương trình
$\left( \sqrt{2\left( \log_{x}16 \right)^{2}-2\log_{x}16+5}-\sqrt{13}+\sqrt{\frac{2}{\left( \log_{16}x \right)^{2}}-\frac{4}{\log_{16}x}+4} \right)\left( 24x^{6}-2x^{5}+27x^{4}-2x^{3}+2023 \right)\leq 0$.
$\left( \sqrt{2\left( \log_{x}16 \right)^{2}-2\log_{x}16+5}-\sqrt{13}+\sqrt{\frac{2}{\left( \log_{16}x \right)^{2}}-\frac{4}{\log_{16}x}+4} \right)\left( 24x^{6}-2x^{5}+27x^{4}-2x^{3}+2023 \right)\leq 0$.
Xem lời giải
Lời giải
ĐKXĐ: $0<x\neq 1$.
Ta có:
$24x^{6}-2x^{5}+27x^{4}-2x^{3}+2023=\left( x^{3}-x^{2} \right)^{2}+\left( x^{3}-1 \right)^{2}+22x^{6}+26x^{4}+2022>0,\forall x$.
Do đó bất phương trình tương đương với:
$\sqrt{2\left( \log_{x}16 \right)^{2}-2\log_{x}16+5}-\sqrt{13}+\sqrt{\frac{2}{\left( \log_{16}x \right)^{2}}-\frac{4}{\log_{16}x}+4}\leq 0.$
Đặt $t=\log_{x}16$, ta có bất phương trình:
$\sqrt{2t^{2}-2t+5}+\sqrt{2t^{2}-4t+4}\leq \sqrt{13}\Leftrightarrow \sqrt{\left( t-\frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{3}{2} \right)^{2}}+\sqrt{(1-t)^{2}+1^{2}}\leq \sqrt{\frac{13}{2}}.$
Ta lại có: $\sqrt{\left( t-\frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{3}{2} \right)^{2}}+\sqrt{(1-t)^{2}+1^{2}}\geq \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{5}{2} \right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{2}}$.
Do đó dấu bằng xảy ra, tức là $\frac{t-\frac{1}{2}}{1-t}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2t-1=3-3t\Leftrightarrow t=\frac{4}{5}\Rightarrow x=16^{\frac{5}{4}}=32$.
Ta có:
$24x^{6}-2x^{5}+27x^{4}-2x^{3}+2023=\left( x^{3}-x^{2} \right)^{2}+\left( x^{3}-1 \right)^{2}+22x^{6}+26x^{4}+2022>0,\forall x$.
Do đó bất phương trình tương đương với:
$\sqrt{2\left( \log_{x}16 \right)^{2}-2\log_{x}16+5}-\sqrt{13}+\sqrt{\frac{2}{\left( \log_{16}x \right)^{2}}-\frac{4}{\log_{16}x}+4}\leq 0.$
Đặt $t=\log_{x}16$, ta có bất phương trình:
$\sqrt{2t^{2}-2t+5}+\sqrt{2t^{2}-4t+4}\leq \sqrt{13}\Leftrightarrow \sqrt{\left( t-\frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{3}{2} \right)^{2}}+\sqrt{(1-t)^{2}+1^{2}}\leq \sqrt{\frac{13}{2}}.$
Ta lại có: $\sqrt{\left( t-\frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{3}{2} \right)^{2}}+\sqrt{(1-t)^{2}+1^{2}}\geq \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{5}{2} \right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{2}}$.
Do đó dấu bằng xảy ra, tức là $\frac{t-\frac{1}{2}}{1-t}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2t-1=3-3t\Leftrightarrow t=\frac{4}{5}\Rightarrow x=16^{\frac{5}{4}}=32$.