Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 11
Giải phương trình $4^{1+x}+4^{1-x}=2\left( 2^{2+x}-2^{2-x} \right)+8$.
Xem lời giải
Lời giải
$4^{1+x}+4^{1-x}=2\left( 2^{2+x}-2^{2-x} \right)+8\Leftrightarrow 4^{1+x}+4^{1-x}=4\left( 2^{1+x}-2^{1-x} \right)+8$.
Đặt $t=2^{1+x}-2^{1-x}\Rightarrow t^{2}=4^{1+x}+4^{1-x}-8$.
Phương trình trở thành:
$t^{2}=4t\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=0 \\ t=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{1+x}-2^{1-x}=0 \\ 2^{1+x}-2^{1-x}=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{1+x}=2^{1-x} \\ 2^{2x}-2\cdot 2^{x}-1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1+x=1-x \\ 2^{x}=1-\sqrt{2} \\ 2^{x}=1+\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\log_{2}(1+\sqrt{2}). \end{array} \right.$
Đặt $t=2^{1+x}-2^{1-x}\Rightarrow t^{2}=4^{1+x}+4^{1-x}-8$.
Phương trình trở thành:
$t^{2}=4t\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=0 \\ t=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{1+x}-2^{1-x}=0 \\ 2^{1+x}-2^{1-x}=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{1+x}=2^{1-x} \\ 2^{2x}-2\cdot 2^{x}-1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1+x=1-x \\ 2^{x}=1-\sqrt{2} \\ 2^{x}=1+\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\log_{2}(1+\sqrt{2}). \end{array} \right.$