Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 9
Giải bất phương trình $\frac{\sqrt{2+3^{2x}}}{\sqrt{2+3^{2x}}-\sqrt{2-3^{2x}}}+\frac{3^{4x}+\sqrt{4-3^{4x}}-7}{3^{2x}}\geq \frac{3^{2x}-2}{\sqrt{4-3^{4x}}-2+3^{2x}}$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $t=3^{2x}>0$, bất phương trình đã cho trở thành:
$\frac{\sqrt{2+t}}{\sqrt{2+t}-\sqrt{2-t}}+\frac{t^{2}+\sqrt{4-t^{2}}-7}{t}\geq \frac{t-2}{\sqrt{4-t^{2}}-2+t}$
Điều kiện: $0<t<2$.
$(1)\Leftrightarrow \begin{array}{l} \frac{\sqrt{2+t}(\sqrt{2+t}+\sqrt{2-t})}{2t}+\frac{t^{2}+\sqrt{4-t^{2}}-7}{t}\geq \frac{t-2}{\sqrt{4-t^{2}}-2+t} \\ \Leftrightarrow \frac{t+3\sqrt{4-t^{2}}+2t^{2}-12}{2t}\geq \frac{t-2}{\sqrt{4-t^{2}}-2+t}\Leftrightarrow \frac{t+3\sqrt{4-t^{2}}+2t^{2}-12}{2t}\geq \frac{(t-2)\left( \sqrt{4-t^{2}}+2-t \right)}{-2t^{2}+4t} \\ \Leftrightarrow t+3\sqrt{4-t^{2}}+2t^{2}-12\geq -\sqrt{4-t^{2}}-2+t\Leftrightarrow 4\sqrt{4-t^{2}}+2t^{2}-10\geq 0 \\ \Leftrightarrow \left( \sqrt{4-t^{2}}-1 \right)^{2}\leq 0\Leftrightarrow t=\sqrt{3}. \end{array}$ Với $t=\sqrt{3}\Rightarrow 3^{2x}=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$.
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{4}$.
$\frac{\sqrt{2+t}}{\sqrt{2+t}-\sqrt{2-t}}+\frac{t^{2}+\sqrt{4-t^{2}}-7}{t}\geq \frac{t-2}{\sqrt{4-t^{2}}-2+t}$
Điều kiện: $0<t<2$.
$(1)\Leftrightarrow \begin{array}{l} \frac{\sqrt{2+t}(\sqrt{2+t}+\sqrt{2-t})}{2t}+\frac{t^{2}+\sqrt{4-t^{2}}-7}{t}\geq \frac{t-2}{\sqrt{4-t^{2}}-2+t} \\ \Leftrightarrow \frac{t+3\sqrt{4-t^{2}}+2t^{2}-12}{2t}\geq \frac{t-2}{\sqrt{4-t^{2}}-2+t}\Leftrightarrow \frac{t+3\sqrt{4-t^{2}}+2t^{2}-12}{2t}\geq \frac{(t-2)\left( \sqrt{4-t^{2}}+2-t \right)}{-2t^{2}+4t} \\ \Leftrightarrow t+3\sqrt{4-t^{2}}+2t^{2}-12\geq -\sqrt{4-t^{2}}-2+t\Leftrightarrow 4\sqrt{4-t^{2}}+2t^{2}-10\geq 0 \\ \Leftrightarrow \left( \sqrt{4-t^{2}}-1 \right)^{2}\leq 0\Leftrightarrow t=\sqrt{3}. \end{array}$ Với $t=\sqrt{3}\Rightarrow 3^{2x}=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$.
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{4}$.