Dạng 2. Độ dài của vectơ
Phương pháp:
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dài.
- Sử dụng tính chất của các tam giác đặc biệt: tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, tam giác vuông cân.
- Sử dụng tính chất của tứ giác đặc biệt: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành,...
Bài tự luận Tổng và hiệu của hai vectơ · Bài 18
(CD10) Cho tam giác $ABC$ có $AB=2a,AC=3a$, $\widehat{BAC}=45^{\circ}$. Tính:
a) $\|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\|$
b) $\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\|$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow\|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{CB}\|=BC$.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$ ta có: $\begin{array}{ll}BC^{2}&=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot\cos A\\&=(2a)^{2}+(3a)^{2}-2\cdot2a\cdot3a\cdot\cos45^{\circ}=(13-6\sqrt{2})a^{2}.\end{array}$
Vậy $\|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\|=a\sqrt{13-6\sqrt{2}}$.
b) Dựng hình bình hành $ABDC$, ta có:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.\quad\widehat{ABD}=180^{\circ}-\widehat{BAC}=135^{\circ},BD=AC=3a$.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABD$ ta có:
$\begin{array}{ll}AD^{2}&=AB^{2}+BD^{2}-2AB\cdot BD\cdot\cos\widehat{ABD}\\&=(2a)^{2}+(3a)^{2}-2\cdot2a\cdot3a\cdot\cos135^{\circ}=(13+6\sqrt{2})a^{2}.\end{array}$
Vậy $\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\|=a\sqrt{13+6\sqrt{2}}$.
