Bài tự luận · Bài 16
Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 16
(KNTT12) Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E,F$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $AB,CD$ sao cho $AE=\frac{1}{3}AB$ và $CF=\frac{1}{3}CD$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$
b) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$
c) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
a) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$
b) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$
c) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
Xem lời giải
Lời giải
a) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{FD}$
$=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$.
b) Tương tự câu a.
c) Từ hai câu a và b, suy ra
$3\overrightarrow{EF}=\left(\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}\right)+2\left(\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$
Do đó $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.
$=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$.
b) Tương tự câu a.
c) Từ hai câu a và b, suy ra
$3\overrightarrow{EF}=\left(\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}\right)+2\left(\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$
Do đó $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.