Bài tự luận · Bài 17
Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 17
(KNTT12) Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,BD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC,ABD$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$
b) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$
a) $\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$
b) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$
Xem lời giải
Lời giải
a) Tam giác $AMN$ có $AE=\frac{2}{3}AM,AF=\frac{2}{3}AN$ nên theo định lí Thalès đảo suy ra $EF\parallel MN$ và $EF=\frac{2}{3}MN$. Vì $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$.
b) Tương tự câu a, ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$. Do đó $\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$.
b) Tương tự câu a, ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$. Do đó $\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$.