Bài tự luận · Bài 18
Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 18
(KNTT12) Trong không gian, cho hai hình bình hành $ABCD$ và $AB'C'D'$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$;
b) $\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}$.
a) $\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$;
b) $\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB'}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AD'}-\overrightarrow{AD}$, suy ra
$\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$.
b) Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vì tứ giác $AB'C'D'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{AC'}$. Kết hợp với câu a suy ra $\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CC'}$
$\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$.
b) Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vì tứ giác $AB'C'D'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{AC'}$. Kết hợp với câu a suy ra $\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CC'}$