Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 8
Với giá trị thực nào của tham số $m$ thì đường thẳng $y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $MN$ ngắn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x+3}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow 2x^2+(m+1)x+m-3=0$ $(*)$.
Đường thẳng $y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ khi và chỉ khi phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta=m^2-6m+25>0,\forall m$.
Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(*)$, lần lượt là hoành độ của hai điểm $M$, $N$. Khi đó ta có: $M(x_1,2x_1+m)$, $N(x_2,2x_2+m)$, $\overrightarrow{MN}=(x_2-x_1;2(x_2-x_1))$.
Suy ra $P=|\overrightarrow{MN}|^2=5(x_2-x_1)^2=5[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]$; với $x_1+x_2=-\frac{m+1}{2}$, $x_1x_2=\frac{m-3}{2}$.
$P=\frac{5}{4}(m^2-6m+25)=\frac{5}{4}[(m-3)^2+16]\geq20,\forall m$. Do đó $MN$ ngắn nhất khi và chỉ khi $P_{\min}$, mà $P_{\min}=20$ khi $m=3$.
Đường thẳng $y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ khi và chỉ khi phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta=m^2-6m+25>0,\forall m$.
Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(*)$, lần lượt là hoành độ của hai điểm $M$, $N$. Khi đó ta có: $M(x_1,2x_1+m)$, $N(x_2,2x_2+m)$, $\overrightarrow{MN}=(x_2-x_1;2(x_2-x_1))$.
Suy ra $P=|\overrightarrow{MN}|^2=5(x_2-x_1)^2=5[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]$; với $x_1+x_2=-\frac{m+1}{2}$, $x_1x_2=\frac{m-3}{2}$.
$P=\frac{5}{4}(m^2-6m+25)=\frac{5}{4}[(m-3)^2+16]\geq20,\forall m$. Do đó $MN$ ngắn nhất khi và chỉ khi $P_{\min}$, mà $P_{\min}=20$ khi $m=3$.