(Sở Thái Nguyên 2022) Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị hàm số $f'(x)$ như trong hình vẽ sau:
Biết rằng đồ thị hàm số $f(x)$ đi qua điểm $A(0;2)$. Giá trị $f(3)$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow f'(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.
Vì đồ thị hàm số $f(x)$ đi qua điểm $A(0;2)$ suy ra $f(0)=2\Rightarrow \frac{b}{d}=2\Leftrightarrow b=2d$ $(1)$.
Dựa vào đồ thị hàm số $f'(x)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l} f'(0)=-\frac{1}{2} \\ x=-\frac{d}{c}=2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{ad-bc}{d^2}=-\frac{1}{2} \quad (2) \\ d=-2c \quad (3) \end{array} \right.$.
Thay $(1)$ vào $(2)$: $\frac{ad-2dc}{d^2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{a-2c}{d}=-\frac{1}{2}\Rightarrow a=-\frac{1}{2}d+2c=-\frac{1}{2}(-2c)+2c=3c$.
Vậy, $f(3)=\frac{3a+b}{3c+d}=\frac{3\cdot3c-4c}{3c-2c}=\frac{5c}{c}=5$.
