Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 6
(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ $(a,b,c,d\in\mathbb{R}$ và $c\neq 0)$. Biết rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $(-1;7)$ và giao điểm hai tiệm cận là $(-2;3)$. Giá trị biểu thức $\frac{2a+3b+4c+d}{7c}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
+ Ta có đồ thị hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đường tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}$, đường tiệm cận đứng là $x=\frac{-d}{c}$.
Theo bài ra, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{c}=3 \\ \frac{-d}{c}=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=3c \\ d=2c \end{array} \right.$.
+ Điểm $(-1;7)$ thuộc đồ thị hàm số $f(x)$ nên $\frac{-a+b}{-c+d}=7\Leftrightarrow \frac{-3c+b}{-c+2c}=7\Leftrightarrow b=10c$.
Vậy $\frac{2a+3b+4c+d}{7c}=\frac{2(3c)+3(10c)+4c+2c}{7c}=6$.
Theo bài ra, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{c}=3 \\ \frac{-d}{c}=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=3c \\ d=2c \end{array} \right.$.
+ Điểm $(-1;7)$ thuộc đồ thị hàm số $f(x)$ nên $\frac{-a+b}{-c+d}=7\Leftrightarrow \frac{-3c+b}{-c+2c}=7\Leftrightarrow b=10c$.
Vậy $\frac{2a+3b+4c+d}{7c}=\frac{2(3c)+3(10c)+4c+2c}{7c}=6$.