Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac14$).
Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac1{4^2}$).
Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ $n$, bỏ đi $3^{n-1}$ tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac1{4^n}$). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.
Xem lời giải
Lời giải
$S=\frac14+3(\frac14)^2+3^2(\frac14)^3+\ldots+3^n(\frac14)^{n+1}+\ldots$
$=\frac14+\frac14\cdot\frac34+\frac14(\frac34)^2+\ldots+\frac14(\frac34)^n+\ldots$.
Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac14$, công bội $q=\frac34$, nên $S=\frac14\cdot\frac1{1-\frac34}=1$.
