Biết rằng, từ vị trí $A$, một mũi tên bay với tốc độ $10$ m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí $B$ cách vị trí $A$ một khoảng bằng $10$ m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: "Để đến được $B$, trước hết mũi tên phải đến trung điểm $A_1$ của $AB$. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm $A_2$ của $A_1B$. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm $A_3$ của $A_2B$. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở $B$".
Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.
Xem lời giải
Lời giải
Thời gian để mũi tên bay từ $A$ đến $A_1$ là $\frac12$ giây, từ $A_1$ đến $A_2$ là $\frac14=\frac1{2^2}$ giây, từ $A_2$ đến $A_3$ là $\frac18=\frac1{2^3},\ldots$.
Tổng thời gian bay của mũi tên là $\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\ldots+\frac1{2^n}+\ldots(*)$
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $\frac12$ và công bội bằng $\frac12$.
Do đó, tổng này bằng $\frac12\cdot\frac1{1-\frac12}=1$ (giây).
Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.
Lập luận của nhà thông thái không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.
