Cho hình vuông $H_1$ có cạnh bằng $a$. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_2$. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông $H_2$ để được hình vuông $H_3$.
Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông $H_1,H_2,H_3,\ldots,H_n,\ldots$ Gọi $s_n$ là diện tích của hình vuông $H_n$.
a) Tính $s_n$.
b) Tính tổng $T=s_1+s_2+\cdots+s_n+\cdots$.
Xem lời giải
Lời giải
Cạnh của hình vuông $H_2$ là $a_2=\sqrt{(\frac a4)^2+(\frac{3a}4)^2}=\sqrt{\frac58}a$.
Khi đó $s_2=\frac58a^2=\frac58s_1$.
Lí luận tương tự, ta có $s_3=\frac58s_2,\ldots,s_n=\frac58s_{n-1}=(\frac58)^{n-1}a^2$. Từ đó
$T=s_1+s_2+\cdots+s_n+\cdots=a^2[1+\frac58+(\frac58)^2+\cdots+(\frac58)^{n-1}+\cdots]=\frac{8a^2}{3}$.
