Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1)$, $B(3;0;3)$. Biết mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-2;4)$ và $AB=2\sqrt6$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(P)$. Vì $A\in(P)$ nên
$d(B,(P))=BH\leq BA=2\sqrt6$.
Khoảng cách lớn nhất đạt được khi $H\equiv A$. Khi đó $(P)$ nhận $\overrightarrow{AB}=(2;-2;4)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua $A(1;2;-1)$. Do đó
$2(x-1)-2(y-2)+4(z+1)=0$
$\Leftrightarrow x-y+2z+3=0$.
