Bài tập nâng cao · Bài 49
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 49
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;4;9)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt ba tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ (khác $O$) sao cho $OA+OB+OC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách $d$ từ $O$ đến $(P)$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $a,b,c>0$. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là
$(P):\dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=1$.
Do $M(1;4;9)\in(P)$ nên
$\dfrac1a+\dfrac4b+\dfrac9c=1$.
Theo bất đẳng thức Cauchy,
$\left(\dfrac1a+\dfrac4b+\dfrac9c\right)(a+b+c)\geq(1+2+3)^2=36$.
Suy ra $a+b+c\geq36$. Dấu bằng xảy ra khi
$\dfrac1a=\dfrac2b=\dfrac3c$,
nên $(a,b,c)=(6,12,18)$. Khi đó
$(P):\dfrac x6+\dfrac y{12}+\dfrac z{18}=1$.
Vậy
$d(O,(P))=\dfrac1{\sqrt{(1/6)^2+(1/12)^2+(1/18)^2}}=\dfrac{36}{7}$.
$(P):\dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=1$.
Do $M(1;4;9)\in(P)$ nên
$\dfrac1a+\dfrac4b+\dfrac9c=1$.
Theo bất đẳng thức Cauchy,
$\left(\dfrac1a+\dfrac4b+\dfrac9c\right)(a+b+c)\geq(1+2+3)^2=36$.
Suy ra $a+b+c\geq36$. Dấu bằng xảy ra khi
$\dfrac1a=\dfrac2b=\dfrac3c$,
nên $(a,b,c)=(6,12,18)$. Khi đó
$(P):\dfrac x6+\dfrac y{12}+\dfrac z{18}=1$.
Vậy
$d(O,(P))=\dfrac1{\sqrt{(1/6)^2+(1/12)^2+(1/18)^2}}=\dfrac{36}{7}$.