Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):(m-1)x+y+mz-1=0$, với $m$ là tham số. Biết khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ đạt giá trị lớn nhất. Xác định $m$ và giá trị lớn nhất đó.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$d(A,(P))=\dfrac{|m-1+1+2m-1|}{\sqrt{(m-1)^2+1+m^2}}=\sqrt{\dfrac{(3m-1)^2}{2(m^2-m+1)}}$.
Đặt
$f(m)=\dfrac{(3m-1)^2}{2(m^2-m+1)}$.
Khi đó
$f'(m)=\dfrac{(5-m)(3m-1)}{2(m^2-m+1)^2}$.
Suy ra các điểm tới hạn là $m=\dfrac13$ và $m=5$. Bảng biến thiên cho thấy $f$ đạt giá trị lớn nhất $\dfrac{14}{3}$ tại $m=5$.
Vậy $m=5$ và $\max d(A,(P))=\sqrt{\dfrac{14}{3}}$; đặc biệt $m=5\in(2;6)$.
