Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục tọa độ $ Oxyz $ với gốc tọa độ đặt tại một sân bay để xác định tọa độ của sân bay. Biết rằng cao độ của tọa độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $ 100 $ m. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có tọa độ $ \left ( { 200;70;118 } \right ) $. Sau $ 50 $ giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm $ 400 $m. Hỏi sau $ 25 $giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có tọa độ $ \left ( { 80;105;113 } \right ) $?

Gọi tọa độ ban đầu của máy bay tại thời điểm $ t=0 $ là $ A\left ( { 200;70;118 } \right ) $. Sau $ 50 $ giây, độ cao giảm $ 400 $ m nên tọa độ $ z $ giảm $ 4 $ đơn vị, tức là $ z=114 $. Gọi tọa độ sau 50 giây là $ B\left ( { x;y;114 } \right ) $. Vận tốc bay (giả sử bay thẳng đều): $ v=\frac { \overset\rightarrow { AB } } { 50 }=\left ( { \frac { x-200 } { 50 };\frac { y-70 } { 50 };\frac { 114-118 } { 50 } } \right )=\left ( { \frac { x-200 } { 50 };\frac { y-70 } { 50 };-\frac { 4 } { 50 } } \right ) $. Sau 25 giây nữa (tổng 75 giây), ta có: $ \overset\rightarrow { OC }=\overset\rightarrow { OA }+75⋅v =\left ( { 200+\frac { 3(x-200) } { 2 };\ 70+\frac { 3(y-70) } { 2 };\ 112 } \right ) $. Xét điểm $ P\left ( { 80;105;113 } \right ) $. Kiểm tra xem điểm $ P $ có nằm trên đường thẳng bay hay không: Giả sử tồn tại $ t $ sao cho: $ \overset\rightarrow { OP }=\overset\rightarrow { OA }+t.\overset\rightarrow { v } $ $ ⇔ $$ \left \{ \begin{array}{l} 80=200+t⋅\frac { x-200 } { 50 } \\ 105=70+t⋅\frac { y-70 } { 50 } \\ 113=118-\frac { 4t } { 50 } \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} x=104 \\ y=98 \\ t=62,5 \end{array} \right. $$ ⇒ $ Tọa độ $ B\left ( { 104;98;114 } \right ) $ Suy ra: $ v=\left ( { -1,92;\ 0,56;\ -0,08 } \right ),\,C\left ( { 56;112;112 } \right ) $ Tính khoảng cách từ sân bay (gốc tọa độ) đến điểm $ C $: $ d=OC=\sqrt[] { 56 ^ { 2 } +112 ^ { 2 } +112 ^ { 2 } }=\sqrt[] { 28224 }=168 $ đơn vị trục 100 mét/ đơn vị. Vậy khoảng cách từ sân bay đến máy bay sau 75 giây là $ 168.100\frac { 1 } { 1000 }=16,8 $ km.