Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $SC = a\sqrt{3}$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SD$.

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Lời giải a) Ta có $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp AC$. b) Ta có: $$ \begin{cases} BC \perp AB & (\text{do } ABCD \text{ là hình vuông}) \\ BC \perp SA & (\text{do } SA \perp (ABCD)) \end{cases} \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB. $$ Suy ra tam giác $SBC$ vuông tại $B$. c) Ta có: $$ \begin{cases} BD \perp AC & (\text{do } ABCD \text{ là hình vuông}) \\ BD \perp SA & (\text{do } SA \perp (ABCD)) \end{cases} \Rightarrow BD \perp (SAC). $$ d) Ta có: $$ SA = \sqrt{SC^2 - AC^2} = \sqrt{3a^2 - 2a^2} = a. $$ Suy ra $\triangle SAB$ là tam giác vuông cân tại $A$, mà $E$ là trung điểm của $SB$ nên $AE \perp SB$. Ta lại có $BC \perp (SAB)$ (chứng minh trên), suy ra $BC \perp AE$. Như vậy ta có: $$ \begin{cases} AE \perp BC \\ AE \perp SB \end{cases} \Rightarrow AE \perp (SBC) \Rightarrow AE \perp SC \quad (*). $$ Chứng minh tương tự ta cũng có $AF \perp (SCD)$ nên $AF \perp SC \quad (**)$. Từ $(*)$ và $(**)$ ta có $SC \perp (AEF)$.