Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên $ CC'=a $ vuông góc với đáy. Gọi $ M,\,I,J $ lần lượt là trung điểm của$ BB',\,BC,B'C' $; Lấy K là điểm trên đoạn $ A'B' $ sao cho $ B'K=\frac { a } { 4 } $.

a) Đúng. $ ΔABC $ là tam giác đều có I là trung điểm của BC nên $ AI⊥BC $và $ AI⊥CC' $vì $ CC'⊥\left ( { ABC } \right ) $ $ ⇒AI⊥\left ( { BB'C'C } \right ) $. b) Đúng. $ BB'C'C $là hình vuông cạnh $ a $nên $ B'C⊥BC' $(2 đường chéo hình vuông). MI là đường trung bình trong tam giác $ B'BC $ nên $ MI{ \rm{ // B } }'{ \rm{ C } } $ suy ra $ MI⊥BC' $. và $ AI⊥BC' $vì$ AI⊥\left ( { BB'C'C } \right ) $. $ ⇒BC'⊥\left ( { AMI } \right ) $ c) Sai. $ AI⊥\left ( { BB'C'C } \right );MI⊂\left ( { BB'C'C } \right )⇒AI⊥MI $hay $ \widehat { AIM }=90° $. $ MI=\frac { 1 } { 2 }B'C $(tính chất đường trung bình trong tam giác$ B'BC $) $ AI=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $(đường cao trong tam giác đều cạnh$ a $) Diện tích tam giác $ AMI \left ( { \widehat { AIM }=90° } \right ) $ là: $ S_{ ΔAMI } =\frac { 1 } { 2 }.MI.AI=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }B'C.AI=\frac { 1 } { 4 }.a\sqrt[] { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 6 }a ^ { 2 } } { 8 } $ d) Đúng. Xét $ ΔKMB'\,\left ( { \widehat { B' }=90° } \right ) $có: $ \tan \widehat { KMB' }=\frac { KB' } { MB' }=\frac { 1 } { 2 } $ Xét $ ΔAMB\,\left ( { \widehat { B }=90° } \right ) $có: $ \tan \widehat { AMB }=\frac { AB } { BM }=2 $ hay $ \cot \widehat { AMB }=\frac { 1 } { 2 } $ Khi đó:$ \tan \widehat { KMB' }=\cot \widehat { AMB }⇒ \widehat { KMB' }+ \widehat { AMB }=90° $(vì 2 góc phụ nhau) Do đó trong $ ΔAMK $ có $ \widehat { AMK }=90°⇒AM⊥MK $ (1) Mà $ \left \{ \begin{array}{l} AM⊥BC' \\ MJ{ \rm{ // BC } }' \end{array} \right.⇒AM⊥MJ $ (2) Từ (1) và (2) suy ra $ AM⊥\left ( { MKJ } \right ) $