Cho hình chóp $ S.ABCD $có $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $, đáy$ ABCD $ là hình thang vuông ở $ A $ và $ B $. Biết $ AB=BC=a $, $ SA=AD=2a $. Lấy$ M,\,N $lần lượt là trung điểm cạnh$ AB $và $ SB $, qua $ M $vẽ mặt phẳng $ \left ( { α } \right ) $vuông góc với $ BC $.

a) Đúng. Ta có $ \left \} \begin{array}{l} \begin{array}{l} BC⊥\left ( { α } \right ) \\ BC\\ { \rm{ // } }\\ AD \\ AB⊄\left ( { α } \right ) \\ \end{array} \end{array} \right.⇒AD⊥\left ( { α } \right ) $ b) Đúng.$ \left \} \begin{array}{l} \begin{array}{l} SA⊥BC \\ BC⊥AB \\ \end{array} \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SAB } \right ) $ Mặt phẳng$ \left ( { α } \right ) $vuông góc với $ BC $ (gt) Suy ra $ \left ( { α } \right ){ \rm{ // } }\left ( { SAB } \right ) $. c) Sai. $ MN{ \rm{ // } }SA;\,MN=\frac { 1 } { 2 }SA $ vì $ MN $là đường trung bình trong $ ΔSAD $. $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ MN⊥\left ( { ABCD } \right )⇒MN⊥MC $ $ ΔMNC $vuông tại M có $ MC=AB $(vì ABCM là hình vuông) Diện tích$ ΔMNC $: $ S_{ ΔMNC } =\frac { 1 } { 2 }MN.MC=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }SA.AB=\frac { a ^ { 2 } } { 2 } $ d) Đúng. Gọi $ O $là giao điểm 2 đường chéo $ AC $và $ BM $của hình vuông$ ABCM $ $ \left \} \begin{array}{l} BM⊥AC \\ BM⊥SA \end{array} \right.⇒BM⊥\left ( { SAC } \right )⇒SO⊥BM $ $ BM=a\sqrt[] { 2 } $; $ AO=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $; $ SO=\sqrt[] { SA ^ { 2 } +AO ^ { 2 } }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }a $ Diện tích $ ΔSMB $là: $ S_{ ΔSMB } =\frac { 1 } { 2 }SO.BM=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }a.a\sqrt[] { 2 }=\frac { 3 } { 2 }a ^ { 2 } $ Tỉ số diện tích $ ΔSMB $và diện tích $ ΔMNC $là: $ \frac { S_{ ΔSMB } } { S_{ ΔMNC } }=\frac { \frac { 3 } { 2 }a ^ { 2 } } { \frac { a ^ { 2 } } { 2 } }=3 $