Bài tập nâng cao · Bài 41
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 41
Cho tam giác $ABC$ có $A(-2;1),B(2;3),C(1;-5)$. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $D,G$, với $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $D(x_D;y_D)$ là chân đường phân giác hạ từ $A$ của tam giác $ABC$.
Ta có $\overrightarrow{BD}=\frac{AB}{AC}\overrightarrow{DC}$.
Mà $AB=\sqrt{(-2-2)^2+(3-1)^2}=2\sqrt5$ và $AC=\sqrt{(1+2)^2+(-5-1)^2}=3\sqrt5$.
Suy ra $\overrightarrow{BD}=\frac{AB}{AC}\overrightarrow{DC}=\frac23\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\begin{cases}x_D-2=\frac23(1-x_D)\\y_D-3=\frac23(-5-y_D)\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_D=\frac85\\y_D=-\frac15\end{cases}\Rightarrow D\left(\frac85;-\frac15\right)$.
Mặt khác $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ hay $G\left(\frac13;-\frac13\right)$.
Suy ra $\overrightarrow{DG}=\left(-\frac{19}{15};-\frac2{15}\right)$.
Đường thẳng $DG$ nhận $\vec u=(19;2)$ làm một VTCP nên phương trình đường thẳng $DG$ là $\begin{cases}x=\frac13+19t\\y=-\frac13+2t\end{cases}$.
Ta có $\overrightarrow{BD}=\frac{AB}{AC}\overrightarrow{DC}$.
Mà $AB=\sqrt{(-2-2)^2+(3-1)^2}=2\sqrt5$ và $AC=\sqrt{(1+2)^2+(-5-1)^2}=3\sqrt5$.
Suy ra $\overrightarrow{BD}=\frac{AB}{AC}\overrightarrow{DC}=\frac23\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\begin{cases}x_D-2=\frac23(1-x_D)\\y_D-3=\frac23(-5-y_D)\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_D=\frac85\\y_D=-\frac15\end{cases}\Rightarrow D\left(\frac85;-\frac15\right)$.
Mặt khác $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ hay $G\left(\frac13;-\frac13\right)$.
Suy ra $\overrightarrow{DG}=\left(-\frac{19}{15};-\frac2{15}\right)$.
Đường thẳng $DG$ nhận $\vec u=(19;2)$ làm một VTCP nên phương trình đường thẳng $DG$ là $\begin{cases}x=\frac13+19t\\y=-\frac13+2t\end{cases}$.