Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 32
(CTST12) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên $SAB$ là tam giác cân tại $S$ có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$;
b) Tính góc $\beta$ giữa hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SCD)$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $O$ là trung điểm của $AB$ suy ra $SO\perp(ABCD)$. Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình bên. Ta có: $S(0;0;6)$, $A(2;0;0),B(-2;0;0),C(-2;4;0),D(2;4;0)$.
a) Ta có $\overrightarrow{SD}=(2;4;-6),\overrightarrow{BC}=(0;4;0)$, suy ra
$\cos\alpha=\dfrac{|\overrightarrow{SD}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{SD}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{|2\cdot0+4\cdot4-6\cdot0|}{\sqrt{2^2+4^2+(-6)^2}\cdot\sqrt{4^2}}=\dfrac{\sqrt{14}}7\Rightarrow\alpha\approx57,7^\circ$.
b) Mặt phẳng $(SAD)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{SD}=(2;4;-6)$, $\overrightarrow{SA}=(2;0;-6)$ nên có vectơ pháp tuyến $n=-\dfrac18[\overrightarrow{SD},\overrightarrow{SA}]=(3;0;1)$.
Mặt phẳng $(SCD)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{SD}=(2;4;-6)$, $\overrightarrow{DC}=(-4;0;0)$ nên có vectơ pháp tuyến $n'=\dfrac18[\overrightarrow{SD},\overrightarrow{DC}]=(0;3;2)$.
Suy ra $\cos\beta=\dfrac{|n\cdot n'|}{|n|\cdot|n'|}=\dfrac{|3\cdot0+0\cdot3+1\cdot2|}{\sqrt{3^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac2{\sqrt{130}}\Rightarrow\beta\approx79,9^\circ$.
