Bài tự luận · Bài 31
Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 31
(CTST12) Tính góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $a=(1;1;-1)$ và $b=(5;2;7)$;
b) $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=2-\sqrt3t\\z=5\end{array}\right.$ và $d':\left\{\begin{array}{l}x=1-\sqrt3t'\\y=7+t'\\z=9\end{array}\right.$;
c) $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):4x+2y-z+9=0$ và $(Q):x+y+6z-11=0$;
d) $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d:\dfrac x2=\dfrac y{-1}=\dfrac z1$ và mặt phẳng $(P):x+y-z+99=0$.
a) $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $a=(1;1;-1)$ và $b=(5;2;7)$;
b) $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=2-\sqrt3t\\z=5\end{array}\right.$ và $d':\left\{\begin{array}{l}x=1-\sqrt3t'\\y=7+t'\\z=9\end{array}\right.$;
c) $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):4x+2y-z+9=0$ và $(Q):x+y+6z-11=0$;
d) $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d:\dfrac x2=\dfrac y{-1}=\dfrac z1$ và mặt phẳng $(P):x+y-z+99=0$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\cos\alpha=\dfrac{a\cdot b}{|a|\cdot|b|}=\dfrac{1\cdot5+1\cdot2-1\cdot7}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{5^2+2^2+7^2}}=0\Rightarrow\alpha=90^\circ$.
b) Vectơ chỉ phương của $d$ và $d'$ lần lượt là $a=(1;-\sqrt3;0),a'=(-\sqrt3;1;0)$.
Khi đó $\cos\alpha=\dfrac{|a\cdot a'|}{|a|\cdot|a'|}=\dfrac{|1\cdot(-\sqrt3)+(-\sqrt3)\cdot1+0\cdot0|}{\sqrt{1+3+0}\cdot\sqrt{3+1+0}}=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\alpha=30^\circ$.
c) Ta có vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là $n=(4;2;-1),n'=(1;1;6)$. Khi đó $\cos\alpha=\dfrac{|n\cdot n'|}{|n|\cdot|n'|}=\dfrac{|4\cdot1+2\cdot1-1\cdot6|}{\sqrt{4^2+2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+6^2}}=0\Rightarrow\alpha=90^\circ$.
d) Ta có vectơ chỉ phương của $d$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ lần lượt là $a=(2;-1;1),n=(1;1;-1)$.
Khi đó $\sin\alpha=\dfrac{|a\cdot n|}{|a|\cdot|n|}=\dfrac{|2\cdot1-1\cdot1+1\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=0\Rightarrow\alpha=0^\circ$.
b) Vectơ chỉ phương của $d$ và $d'$ lần lượt là $a=(1;-\sqrt3;0),a'=(-\sqrt3;1;0)$.
Khi đó $\cos\alpha=\dfrac{|a\cdot a'|}{|a|\cdot|a'|}=\dfrac{|1\cdot(-\sqrt3)+(-\sqrt3)\cdot1+0\cdot0|}{\sqrt{1+3+0}\cdot\sqrt{3+1+0}}=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\alpha=30^\circ$.
c) Ta có vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là $n=(4;2;-1),n'=(1;1;6)$. Khi đó $\cos\alpha=\dfrac{|n\cdot n'|}{|n|\cdot|n'|}=\dfrac{|4\cdot1+2\cdot1-1\cdot6|}{\sqrt{4^2+2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+6^2}}=0\Rightarrow\alpha=90^\circ$.
d) Ta có vectơ chỉ phương của $d$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ lần lượt là $a=(2;-1;1),n=(1;1;-1)$.
Khi đó $\sin\alpha=\dfrac{|a\cdot n|}{|a|\cdot|n|}=\dfrac{|2\cdot1-1\cdot1+1\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=0\Rightarrow\alpha=0^\circ$.