(CTST12) Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ đứng $OBC.O'B'C'$ với $O(0;0;0),B(3;0;0),C(0;2;0),O'(0;0;4)$.
a) Tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng $BO'$ và $B'C$.
b) Tính góc $\beta$ giữa đường thẳng $B'C$ và mặt phẳng $(O'BC)$.

Question

Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng (CTST12) Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ đứng $OBC.O'B'C'$ với $O(0;0;0),B(3;0;0),C(0;2;0),O'(0;0;4)$. a) Tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng $BO'$ và $B'C$. b) Tính góc $\beta$ giữa đường thẳng $B'C$ và mặt phẳng $(O'BC)$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD21. PHUONG TRINH DUONG THANG/B. TU LUAN/image660.png] a) Ta có $B'(3;0;4)$. Hai đường thẳng $BO'$ và $B'C$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BO'}=(-3;0;4)$, $\overrightarrow{B'C}=(-3;2;-4)$. Suy ra: $\cos\alpha=\dfrac{|\overrightarrow{BO'}\cdot\overrightarrow{B'C}|}{|\overrightarrow{BO'}|\cdot|\overrightarrow{B'C}|}=\dfrac{|(-3)\cdot(-3)+0\cdot2+4\cdot(-4)|}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{3^2+2^2+4^2}}=\dfrac7{5\sqrt{29}}\Rightarrow\alpha\approx74,9^\circ$. b) Đường thẳng $B'C$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{B'C}=(-3;2;-4)$. Mặt phẳng $(O'BC)$ có phương trình là $\dfrac x3+\dfrac y2+\dfrac z4=1$ hay $4x+6y+3z-12=0$, suy ra mặt phẳng $(O'BC)$ có vectơ pháp tuyến là $n=(4;6;3)$. Ta có: $\sin\beta=\dfrac{|\overrightarrow{B'C}\cdot n|}{|\overrightarrow{B'C}|\cdot|n|}=\dfrac{|(-3)\cdot4+2\cdot6+(-4)\cdot3|}{\sqrt{3^2+2^2+4^2}\cdot\sqrt{4^2+6^2+3^2}}=\dfrac{12}{\sqrt{1769}}\Rightarrow\beta\approx16,6^\circ$.

Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 30