Bài tự luận · Bài 29
Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 29
(CTST12) Tính góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $a=(1;2;-1)$ và $b=(2;1;9)$;
b) $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{4}=\dfrac{z-5}{1}$ và $d':\dfrac{x+7}{3}=\dfrac{y-9}{1}=\dfrac{z-1}{2}$;
c) $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):\sqrt3x+z+9=0$ và $(Q):\sqrt3x-z+4=0$;
d) $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d:\dfrac{x+4}{1}=\dfrac{y-7}{2}=\dfrac{z-5}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+11=0$.
a) $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $a=(1;2;-1)$ và $b=(2;1;9)$;
b) $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{4}=\dfrac{z-5}{1}$ và $d':\dfrac{x+7}{3}=\dfrac{y-9}{1}=\dfrac{z-1}{2}$;
c) $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):\sqrt3x+z+9=0$ và $(Q):\sqrt3x-z+4=0$;
d) $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d:\dfrac{x+4}{1}=\dfrac{y-7}{2}=\dfrac{z-5}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+11=0$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có:
$\cos\alpha=\dfrac{a\cdot b}{|a|\cdot|b|}=\dfrac{1\cdot2+2\cdot1-1\cdot9}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2+9^2}}=\dfrac{-5}{\sqrt{516}}\Rightarrow\alpha\approx102,7^\circ$.
b) Ta có vectơ chỉ phương của $d$ và $d'$ lần lượt là $a=(2;4;1),a'=(3;1;2)$.
Khi đó: $\cos\alpha=\dfrac{|a\cdot a'|}{|a|\cdot|a'|}=\dfrac{|2\cdot3+4\cdot1+1\cdot2|}{\sqrt{2^2+4^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2+2^2}}=\dfrac{2\sqrt6}{7}\Rightarrow\alpha\approx45,6^\circ$.
c) Ta có vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là $n=(\sqrt3;0;1)$, $n'=(\sqrt3;0;-1)$.
Khi đó: $\cos\alpha=\dfrac{|n\cdot n'|}{|n|\cdot|n'|}=\dfrac{|\sqrt3\cdot\sqrt3+0\cdot0+1\cdot(-1)|}{\sqrt{3+1}\cdot\sqrt{3+1}}=\dfrac12\Rightarrow\alpha=60^\circ$.
d) Ta có vectơ chỉ phương của $d$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ lần lượt là $a=(1;2;2),n=(2;2;-1)$. Khi đó:
$\sin\alpha=\dfrac{|a\cdot n|}{|a|\cdot|n|}=\dfrac{|1\cdot2+2\cdot2+2\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac49\Rightarrow\alpha\approx26,4^\circ$.
$\cos\alpha=\dfrac{a\cdot b}{|a|\cdot|b|}=\dfrac{1\cdot2+2\cdot1-1\cdot9}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2+9^2}}=\dfrac{-5}{\sqrt{516}}\Rightarrow\alpha\approx102,7^\circ$.
b) Ta có vectơ chỉ phương của $d$ và $d'$ lần lượt là $a=(2;4;1),a'=(3;1;2)$.
Khi đó: $\cos\alpha=\dfrac{|a\cdot a'|}{|a|\cdot|a'|}=\dfrac{|2\cdot3+4\cdot1+1\cdot2|}{\sqrt{2^2+4^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2+2^2}}=\dfrac{2\sqrt6}{7}\Rightarrow\alpha\approx45,6^\circ$.
c) Ta có vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là $n=(\sqrt3;0;1)$, $n'=(\sqrt3;0;-1)$.
Khi đó: $\cos\alpha=\dfrac{|n\cdot n'|}{|n|\cdot|n'|}=\dfrac{|\sqrt3\cdot\sqrt3+0\cdot0+1\cdot(-1)|}{\sqrt{3+1}\cdot\sqrt{3+1}}=\dfrac12\Rightarrow\alpha=60^\circ$.
d) Ta có vectơ chỉ phương của $d$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ lần lượt là $a=(1;2;2),n=(2;2;-1)$. Khi đó:
$\sin\alpha=\dfrac{|a\cdot n|}{|a|\cdot|n|}=\dfrac{|1\cdot2+2\cdot2+2\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac49\Rightarrow\alpha\approx26,4^\circ$.