Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 22
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ và $ f'\left ( { x } \right )=\frac { x+7 } { \sqrt[] { 2x-3 } },∀x\in \left ( { \frac { 3 } { 2 };+\infty } \right ) $. Biết rằng $ \int _{ 4 }^{ 7 } { f\left ( { \frac { x } { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { a } { b } $ ($ a,b\in \mathbb{Z},b>0,\frac { a } { b } $ là phân số tối giản). Khi đó $ a+b $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=\int { \frac { x+7 } { \sqrt[] { 2x-3 } }.{ \rm{ d } }x }=\int { \frac { \frac { 1 } { 2 }\left ( { 2x-3 } \right )+\frac { 17 } { 2 } } { \sqrt[] { 2x-3 } }.{ \rm{ d } }x }=\int { \left ( { \frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 2x-3 }+\frac { 17 } { 2\sqrt[] { 2x-3 } } } \right ).{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }\frac { \sqrt[] { \left ( { 2x-3 } \right ) ^ { 3 } } } { \frac { 3 } { 2 } }+\frac { 17 } { 2 }.\sqrt[] { 2x-3 }+C=\frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { \left ( { 2x-3 } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 17 } { 2 }.\sqrt[] { 2x-3 }+C $.
Mà $ f\left ( { 2 } \right )=0\Leftrightarrow =\frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { \left ( { 2.2-3 } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 17 } { 2 }.\sqrt[] { 2.2-3 }+C=0\Leftrightarrow \frac { 1 } { 6 }+\frac { 17 } { 2 }+C=0\Leftrightarrow C=-\frac { 26 } { 3 } $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { \left ( { 2x-3 } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 17 } { 2 }.\sqrt[] { 2x-3 }-\frac { 26 } { 3 } $
Do đó $ \int _{ 4 }^{ 7 } { f\left ( { \frac { x } { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 4 }^{ 7 } { \left[ \frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 17 } { 2 }.\sqrt[] { x-3 }-\frac { 26 } { 3 } \right]{ \rm{ d } }x }=\left | { \left[ \frac { 1 } { 6 }\frac { \sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 5 } } } { \frac { 5 } { 2 } }+\frac { 17 } { 2 }.\frac { \sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 3 } } } { \frac { 3 } { 2 } }-\frac { 26 } { 3 }x \right] } \right ._{ 4 } ^{ 7 } =\left | { \left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }x \right] } \right ._{ 4 } ^{ 7 } =\left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { 7-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { 7-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }.7 \right]-\left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { 4-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { 4-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }.4 \right] =\left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { 7-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { 7-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }.7 \right]-\left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { 4-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { 4-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }.4 \right] =\frac { 236 } { 15 } $.
Suy ra $ a=236,b=15 $. Vậy $ a+b=251 $.
Mà $ f\left ( { 2 } \right )=0\Leftrightarrow =\frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { \left ( { 2.2-3 } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 17 } { 2 }.\sqrt[] { 2.2-3 }+C=0\Leftrightarrow \frac { 1 } { 6 }+\frac { 17 } { 2 }+C=0\Leftrightarrow C=-\frac { 26 } { 3 } $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { \left ( { 2x-3 } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 17 } { 2 }.\sqrt[] { 2x-3 }-\frac { 26 } { 3 } $
Do đó $ \int _{ 4 }^{ 7 } { f\left ( { \frac { x } { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 4 }^{ 7 } { \left[ \frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 17 } { 2 }.\sqrt[] { x-3 }-\frac { 26 } { 3 } \right]{ \rm{ d } }x }=\left | { \left[ \frac { 1 } { 6 }\frac { \sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 5 } } } { \frac { 5 } { 2 } }+\frac { 17 } { 2 }.\frac { \sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 3 } } } { \frac { 3 } { 2 } }-\frac { 26 } { 3 }x \right] } \right ._{ 4 } ^{ 7 } =\left | { \left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { x-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }x \right] } \right ._{ 4 } ^{ 7 } =\left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { 7-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { 7-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }.7 \right]-\left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { 4-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { 4-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }.4 \right] =\left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { 7-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { 7-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }.7 \right]-\left[ \frac { 1 } { 15 }\sqrt[] { \left ( { 4-3 } \right ) ^ { 5 } }+\frac { 17 } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { 4-3 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 26 } { 3 }.4 \right] =\frac { 236 } { 15 } $.
Suy ra $ a=236,b=15 $. Vậy $ a+b=251 $.