Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 21
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 1 } { 2 } $ và $ f'\left ( { x } \right )=\frac { x } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } } $ với $ x>-1 $. Biết $ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=aln\frac { b } { c }-d $ với $ a,\,b,\,c,\,d $ là các số nguyên dương, $ b\leq 3 $ và $ \frac { b } { c } $ tối giản. Khi đó $ a+b+c+d $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int { \frac { x } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\int { \left ( { \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } } } \right ){ \rm{ d } }x }=ln\left ( { x+1 } \right )+\frac { 1 } { x+1 }+C $, với $ C $ là hằng số tùy ý.
Do $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow ln2+\frac { 1 } { 2 }+C=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow C=-ln2 $.
Khi đó, ta có
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ ln\left ( { x+1 } \right )+\frac { 1 } { x+1 }-ln2 \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2 } { ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } }-ln2\int _{ 1 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x } $.
Xét $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }x } $. Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=ln\left ( { x+1 } \right ) \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } \\ v=x \end{array} \right. $, khi đó ta có
$ I=\left | { x.ln\left ( { x+1 } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x{ \rm{ d } }x } { x+1 } }=2ln3-ln2-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x{ \rm{ d } }x } { x+1 } }=2ln3-ln2-\int _{ 1 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } }=2ln3-ln2-1+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } } $
Khi đó,
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=2ln3-ln2-1+2\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } }-ln2\int _{ 1 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x }=2ln3-ln2-1+2ln3-2ln2-ln2=4ln\frac { 3 } { 2 }-1 $.
Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=3 \\ c=2 \\ d=1 \end{array} \right.\Rightarrow a+b+c+d=10 $.
Do $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow ln2+\frac { 1 } { 2 }+C=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow C=-ln2 $.
Khi đó, ta có
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ ln\left ( { x+1 } \right )+\frac { 1 } { x+1 }-ln2 \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2 } { ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } }-ln2\int _{ 1 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x } $.
Xét $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }x } $. Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=ln\left ( { x+1 } \right ) \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } \\ v=x \end{array} \right. $, khi đó ta có
$ I=\left | { x.ln\left ( { x+1 } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x{ \rm{ d } }x } { x+1 } }=2ln3-ln2-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x{ \rm{ d } }x } { x+1 } }=2ln3-ln2-\int _{ 1 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } }=2ln3-ln2-1+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } } $
Khi đó,
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=2ln3-ln2-1+2\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+1 } }-ln2\int _{ 1 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x }=2ln3-ln2-1+2ln3-2ln2-ln2=4ln\frac { 3 } { 2 }-1 $.
Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=3 \\ c=2 \\ d=1 \end{array} \right.\Rightarrow a+b+c+d=10 $.