Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 20
Cho $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { cosx } { sin ^ { 2 } x-5sinx+6 } }{ \rm{ d } }x=aln\frac { 4 } { b } $. Giá trị của $ a+b $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { cosx } { sin ^ { 2 } x-5sinx+6 } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { sinx } \right ) } { sin ^ { 2 } x-5sinx+6 } }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { sinx } \right ) } { \left ( { sinx-2 } \right )\left ( { sinx-3 } \right ) } } $.
Đặt $ t=sinx\Rightarrow { \rm{ d } }t={ \rm{ d } }\left ( { sinx } \right ) $.
Đổi cận: Khi $ x=0\Rightarrow t=0 $; $ x=\frac { \pi } { 2 }\Rightarrow t=1 $.
Khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { { \rm{ d } }t } { \left ( { t-2 } \right )\left ( { t-3 } \right ) } }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { -1 } { t-2 }+\frac { 1 } { t-3 } } \right ) }{ \rm{ d } }t=\left | { \left[ ln\left | { t-3 } \right |-ln\left | { t-2 } \right | \right] } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\left | { ln\left | { \frac { t-3 } { t-2 } } \right | } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=ln2-ln\frac { 3 } { 2 }=ln\frac { 4 } { 3 } $.
Ta có $ a=1 $, $ b=3 $.
Vậy giá trị của $ a+b=1+3=4 $.
Đặt $ t=sinx\Rightarrow { \rm{ d } }t={ \rm{ d } }\left ( { sinx } \right ) $.
Đổi cận: Khi $ x=0\Rightarrow t=0 $; $ x=\frac { \pi } { 2 }\Rightarrow t=1 $.
Khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { { \rm{ d } }t } { \left ( { t-2 } \right )\left ( { t-3 } \right ) } }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { -1 } { t-2 }+\frac { 1 } { t-3 } } \right ) }{ \rm{ d } }t=\left | { \left[ ln\left | { t-3 } \right |-ln\left | { t-2 } \right | \right] } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\left | { ln\left | { \frac { t-3 } { t-2 } } \right | } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=ln2-ln\frac { 3 } { 2 }=ln\frac { 4 } { 3 } $.
Ta có $ a=1 $, $ b=3 $.
Vậy giá trị của $ a+b=1+3=4 $.