Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 19
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { 0 } \right )=0 $ và $ f'\left ( { x } \right )=sin ^ { 4 } x,{ \rm{ } }∀x\in \mathbb{R} $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ sin ^ { 4 } x=\left ( { \frac { 1-cos2x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 1-2cos2x+cos ^ { 2 } 2x } \right ) =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 1-2cos2x+\frac { 1+cos4x } { 2 } } \right ) =\frac { 1 } { 8 }\left ( { cos4x-4cos2x+3 } \right ) $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 8 }\int { \left ( { cos4x-4cos2x+3 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 32 }sin4x-\frac { 1 } { 4 }sin2x+\frac { 3 } { 8 }x+C $.
Vì $ f\left ( { 0 } \right )=0 $ nên $ C=0 $ hay $ f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 32 }sin4x-\frac { 1 } { 4 }sin2x+\frac { 3 } { 8 }x $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { \frac { 1 } { 32 }sin4x-\frac { 1 } { 4 }sin2x+\frac { 3 } { 8 }x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { -\frac { 1 } { 128 }cos4x+\frac { 1 } { 8 }cos2x+\frac { 3 } { 16 }x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } } =\left ( { -\frac { 1 } { 128 }-\frac { 1 } { 8 }+\frac { 3\pi ^ { 2 } } { 64 } } \right )-\left ( { -\frac { 1 } { 128 }+\frac { 1 } { 8 } } \right )=\frac { 3\pi ^ { 2 } -16 } { 64 } $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 8 }\int { \left ( { cos4x-4cos2x+3 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 32 }sin4x-\frac { 1 } { 4 }sin2x+\frac { 3 } { 8 }x+C $.
Vì $ f\left ( { 0 } \right )=0 $ nên $ C=0 $ hay $ f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 32 }sin4x-\frac { 1 } { 4 }sin2x+\frac { 3 } { 8 }x $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { \frac { 1 } { 32 }sin4x-\frac { 1 } { 4 }sin2x+\frac { 3 } { 8 }x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { -\frac { 1 } { 128 }cos4x+\frac { 1 } { 8 }cos2x+\frac { 3 } { 16 }x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } } =\left ( { -\frac { 1 } { 128 }-\frac { 1 } { 8 }+\frac { 3\pi ^ { 2 } } { 64 } } \right )-\left ( { -\frac { 1 } { 128 }+\frac { 1 } { 8 } } \right )=\frac { 3\pi ^ { 2 } -16 } { 64 } $.