Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 23
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { 1 } \right )=0 $ và $ f'\left ( { x } \right )=2019.2020.x\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2018 } \,,∀x\in \mathbb{R} $. Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x\, } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Cần nhớ: $ \int { f'\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x\,=f\left ( { x } \right )+C $ và $ \int { \left ( { ax+b } \right ) ^ { \alpha } \,{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { a }\frac { \left ( { ax+b } \right ) ^ { \alpha +1 } } { \alpha +1 } }+C\,\,\left ( { \alpha \neq -1 } \right ) $.
Ta có $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=\int { 2019.2020.x\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2018 } \,{ \rm{ d } }x }=2019.2020\int { x\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2018 } \,{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=x-1\Rightarrow \,{ \rm{ d } }t=\,{ \rm{ d } }x\, $và $ x=t+1 $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=2019.2020\int { \left ( { t+1 } \right )t ^ { 2018 } \,{ \rm{ d } }t=2019.2020 }\int { \left ( { t ^ { 2019 } +t ^ { 2018 } } \right ){ \rm{ d } }t } =2019.2020\left ( { \frac { t ^ { 2020 } } { 2020 }+\frac { t ^ { 2019 } } { 2019 } } \right )+C=2019t ^ { 2020 } +2020t ^ { 2019 } +C $.
Từ đó $ f\left ( { x } \right )=2019\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } +2020\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2019 } +C $.
Mà $ f\left ( { 1 } \right )=0\Leftrightarrow 2019\left ( { 1-1 } \right ) ^ { 2020 } +2020\left ( { 1-1 } \right ) ^ { 2019 } +C=0\Leftrightarrow C=0. $
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=2019\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } +2020\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2019 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2019\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } +2020\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2019 } \right] }\,{ \rm{ d } }x=\left | { \left[ 2019.\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2021 } } { 2021 }+2020.\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } } { 2020 } \right] } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =-\left ( { -\frac { 2019 } { 2021 }+1 } \right )=-\frac { 2 } { 2021 } $.
Ta có $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=\int { 2019.2020.x\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2018 } \,{ \rm{ d } }x }=2019.2020\int { x\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2018 } \,{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=x-1\Rightarrow \,{ \rm{ d } }t=\,{ \rm{ d } }x\, $và $ x=t+1 $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=2019.2020\int { \left ( { t+1 } \right )t ^ { 2018 } \,{ \rm{ d } }t=2019.2020 }\int { \left ( { t ^ { 2019 } +t ^ { 2018 } } \right ){ \rm{ d } }t } =2019.2020\left ( { \frac { t ^ { 2020 } } { 2020 }+\frac { t ^ { 2019 } } { 2019 } } \right )+C=2019t ^ { 2020 } +2020t ^ { 2019 } +C $.
Từ đó $ f\left ( { x } \right )=2019\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } +2020\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2019 } +C $.
Mà $ f\left ( { 1 } \right )=0\Leftrightarrow 2019\left ( { 1-1 } \right ) ^ { 2020 } +2020\left ( { 1-1 } \right ) ^ { 2019 } +C=0\Leftrightarrow C=0. $
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=2019\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } +2020\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2019 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2019\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } +2020\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2019 } \right] }\,{ \rm{ d } }x=\left | { \left[ 2019.\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2021 } } { 2021 }+2020.\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } } { 2020 } \right] } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =-\left ( { -\frac { 2019 } { 2021 }+1 } \right )=-\frac { 2 } { 2021 } $.