Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 24
Cho $ a $ là số thực dương. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2016 } x.cos\left ( { 2018x } \right )dx } $ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2016 } x.cos\left ( { 2017x+x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2016 } x.\left[ cos\left ( { 2017x } \right ).cosx-sin\left ( { 2017x } \right ).sinx \right]dx } =\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2016 } xcos\left ( { 2017x } \right ).cosxdx- }\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2017 } xsin\left ( { 2017x } \right )dx } $.
Xét $ J=\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2016 } xcos\left ( { 2017x } \right ).cosxdx } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=cos\left ( { 2017x } \right ) \\ du=sin ^ { 2016 } x.cosxdx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=-2017sin\left ( { 2017x } \right )dx \\ v=\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } x \end{array} \right. $.
Khi đó $ J=\left | { cos\left ( { 2017x } \right ).\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } x } \right ._{ 0 } ^{ a }+\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2017 } x.sin\left ( { 2017x } \right ) }dx $.
Suy ra $ I=\left | { cos\left ( { 2017x } \right ).\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } x } \right ._{ 0 } ^{ a }+\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2017 } x.sin\left ( { 2017x } \right ) }dx-\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2017 } x.sin\left ( { 2017x } \right ) }dx $.
$ \,\,\,\,\,=\left | { cos\left ( { 2017x } \right ).\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } x } \right ._{ 0 } ^{ a }=\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } a.cos\left ( { 2017a } \right ) $.
Xét $ J=\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2016 } xcos\left ( { 2017x } \right ).cosxdx } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=cos\left ( { 2017x } \right ) \\ du=sin ^ { 2016 } x.cosxdx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=-2017sin\left ( { 2017x } \right )dx \\ v=\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } x \end{array} \right. $.
Khi đó $ J=\left | { cos\left ( { 2017x } \right ).\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } x } \right ._{ 0 } ^{ a }+\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2017 } x.sin\left ( { 2017x } \right ) }dx $.
Suy ra $ I=\left | { cos\left ( { 2017x } \right ).\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } x } \right ._{ 0 } ^{ a }+\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2017 } x.sin\left ( { 2017x } \right ) }dx-\int _{ 0 }^{ a } { sin ^ { 2017 } x.sin\left ( { 2017x } \right ) }dx $.
$ \,\,\,\,\,=\left | { cos\left ( { 2017x } \right ).\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } x } \right ._{ 0 } ^{ a }=\frac { 1 } { 2017 }sin ^ { 2017 } a.cos\left ( { 2017a } \right ) $.