Bài tự luận · Bài 17
Dạng 3. Phương trình đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp: - $\sin f(x)=\sin g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$. - $\cos f(x)=\cos g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$.
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 17
(CTST11) Tìm tập xác định của hàm số lượng giác $ y=\frac{\sin x-2\cos3x}{\sin x+\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)} $.
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi $ \sin x+\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)\neq 0 $.
Ta có $ \sin x+\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)=0\Leftrightarrow \sin x=-\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)\Leftrightarrow \sin x=\sin\left( -2x+\frac{\pi}{3} \right) $ $ \Leftrightarrow x=-2x+\frac{\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ hoặc $ x=\pi+2x-\frac{\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ $ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in\mathbb{Z} $ hoặc $ x=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $.
Do đó $ \sin x+\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)\neq 0 $ khi và chỉ khi $ x\neq\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in\mathbb{Z} $ và $ x\neq-\frac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $.
Vậy tập xác định của hàm số là $ D=\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3};-\frac{2\pi}{3}+k2\pi \mid k\in\mathbb{Z} \right\} $.
Ta có $ \sin x+\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)=0\Leftrightarrow \sin x=-\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)\Leftrightarrow \sin x=\sin\left( -2x+\frac{\pi}{3} \right) $ $ \Leftrightarrow x=-2x+\frac{\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ hoặc $ x=\pi+2x-\frac{\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ $ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in\mathbb{Z} $ hoặc $ x=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $.
Do đó $ \sin x+\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)\neq 0 $ khi và chỉ khi $ x\neq\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in\mathbb{Z} $ và $ x\neq-\frac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $.
Vậy tập xác định của hàm số là $ D=\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3};-\frac{2\pi}{3}+k2\pi \mid k\in\mathbb{Z} \right\} $.