Bài tự luận · Bài 16
Dạng 3. Phương trình đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp: - $\sin f(x)=\sin g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$. - $\cos f(x)=\cos g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$.
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 16
(CTST11) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) $ \cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)=0 $
b) $ 2\cos^{2}x+5\sin x-4=0 $;
c) $ \cos\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)+2\sin^{2}x-1=0 $
a) $ \cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)=0 $
b) $ 2\cos^{2}x+5\sin x-4=0 $;
c) $ \cos\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)+2\sin^{2}x-1=0 $
Xem lời giải
Lời giải
a) $ \cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)=0 $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=-\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)\Leftrightarrow \cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\cos\left( \frac{3\pi}{4}+x \right) \\ \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \vee x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}-x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}. \end{array} $
Vậy phương trình có các nghiệm là $ x=-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} $.
b)
$ \begin{array}{l} 2\cos^{2}x+5\sin x-4=0\Leftrightarrow 2\left( 1-\sin^{2}x \right)+5\sin x-4=0 \\ \Leftrightarrow -2\sin^{2}x+5\sin x-2=0 \\ \Leftrightarrow \sin x=2 \vee \sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \vee x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}. \end{array} $
Vậy phương trình có các nghiệm $ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ và $ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $.
c) $ \cos\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)+2\sin^{2}x-1=0 $
$ \Leftrightarrow \cos\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)=1-2\sin^{2}x\Leftrightarrow \cos\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)=\cos2x $
$ \Leftrightarrow 3x-\frac{\pi}{4}=2x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ hoặc $ 3x-\frac{\pi}{4}=-2x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $
$ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ hoặc $ x=\frac{\pi}{20}+k\frac{2\pi}{5},k\in\mathbb{Z} $
Vậy phương trình có các nghiệm là $ x=\frac{\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ và $ x=\frac{\pi}{20}+k\frac{2\pi}{5},k\in\mathbb{Z} $.
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=-\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)\Leftrightarrow \cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\cos\left( \frac{3\pi}{4}+x \right) \\ \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \vee x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}-x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}. \end{array} $
Vậy phương trình có các nghiệm là $ x=-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} $.
b)
$ \begin{array}{l} 2\cos^{2}x+5\sin x-4=0\Leftrightarrow 2\left( 1-\sin^{2}x \right)+5\sin x-4=0 \\ \Leftrightarrow -2\sin^{2}x+5\sin x-2=0 \\ \Leftrightarrow \sin x=2 \vee \sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \vee x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}. \end{array} $
Vậy phương trình có các nghiệm $ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ và $ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $.
c) $ \cos\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)+2\sin^{2}x-1=0 $
$ \Leftrightarrow \cos\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)=1-2\sin^{2}x\Leftrightarrow \cos\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)=\cos2x $
$ \Leftrightarrow 3x-\frac{\pi}{4}=2x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ hoặc $ 3x-\frac{\pi}{4}=-2x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $
$ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ hoặc $ x=\frac{\pi}{20}+k\frac{2\pi}{5},k\in\mathbb{Z} $
Vậy phương trình có các nghiệm là $ x=\frac{\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} $ và $ x=\frac{\pi}{20}+k\frac{2\pi}{5},k\in\mathbb{Z} $.