Bài tự luận · Bài 15
Dạng 3. Phương trình đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp: - $\sin f(x)=\sin g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$. - $\cos f(x)=\cos g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$.
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 15
(CTST11) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) $\cos\left( 2x+10^{\circ} \right)=\sin\left( 50^{\circ}-x \right)$
b) $8\sin^{3}x+1=0$;
c) $(\sin x+3)(\cot x-1)=0$
d) $\tan\left( x-30^{\circ} \right)-\cot 50^{\circ}=0$.
a) $\cos\left( 2x+10^{\circ} \right)=\sin\left( 50^{\circ}-x \right)$
b) $8\sin^{3}x+1=0$;
c) $(\sin x+3)(\cot x-1)=0$
d) $\tan\left( x-30^{\circ} \right)-\cot 50^{\circ}=0$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\cos\left( 2x+10^{\circ} \right)=\sin\left( 50^{\circ}-x \right)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos\left( 2x+10^{\circ} \right)=\cos\left( x+40^{\circ} \right) \\ \Leftrightarrow 2x+10^{\circ}=x+40^{\circ}+k360^{\circ},k\in \mathbb{Z} \vee 2x+10^{\circ}=-x-40^{\circ}+k360^{\circ},k\in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in \mathbb{Z} \vee x=-\frac{1}{3}\cdot 50^{\circ}+k120^{\circ},k\in \mathbb{Z}. \end{array}$
Vậy phương trình có các nghiệm là
$x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in \mathbb{Z}$ và $x=-\frac{1}{3}\cdot 50^{\circ}+k120^{\circ},k\in \mathbb{Z}.$
b) $8\sin^{3}x+1=0\Leftrightarrow \sin^{3}x=-\frac{1}{8}\Leftrightarrow \sin x=-\frac{1}{2}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \vee x=\pi -\left( -\frac{\pi}{6} \right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \vee x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}. \end{array}$
Vậy phương trình có các nghiệm là $x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
c) $(\sin x+3)(\cot x-1)=0\Leftrightarrow \sin x+3=0$ hoặc $\cot x-1=0$
$\Leftrightarrow \sin x=-3$ hoặc $\cot x=1$. Phương trình $\sin x=-3$ vô nghiệm.
Phương trình $\cot x=1$ có nghiệm là $x=\frac{\pi}{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Vậy phương trình có các nghiệm là $x=\frac{\pi}{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) $\tan\left( x-30^{\circ} \right)-\cot 50^{\circ}=0\Leftrightarrow \tan\left( x-30^{\circ} \right)=\cot 50^{\circ}\Leftrightarrow \tan\left( x-30^{\circ} \right)=\tan 40^{\circ}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x-30^{\circ}=40^{\circ}+k180^{\circ},k\in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=70^{\circ}+k180^{\circ},k\in \mathbb{Z}. \end{array}$
Vậy phương trình có các nghiệm là $x=70^{\circ}+k180^{\circ},k\in \mathbb{Z}$.
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos\left( 2x+10^{\circ} \right)=\cos\left( x+40^{\circ} \right) \\ \Leftrightarrow 2x+10^{\circ}=x+40^{\circ}+k360^{\circ},k\in \mathbb{Z} \vee 2x+10^{\circ}=-x-40^{\circ}+k360^{\circ},k\in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in \mathbb{Z} \vee x=-\frac{1}{3}\cdot 50^{\circ}+k120^{\circ},k\in \mathbb{Z}. \end{array}$
Vậy phương trình có các nghiệm là
$x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in \mathbb{Z}$ và $x=-\frac{1}{3}\cdot 50^{\circ}+k120^{\circ},k\in \mathbb{Z}.$
b) $8\sin^{3}x+1=0\Leftrightarrow \sin^{3}x=-\frac{1}{8}\Leftrightarrow \sin x=-\frac{1}{2}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \vee x=\pi -\left( -\frac{\pi}{6} \right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \vee x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}. \end{array}$
Vậy phương trình có các nghiệm là $x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
c) $(\sin x+3)(\cot x-1)=0\Leftrightarrow \sin x+3=0$ hoặc $\cot x-1=0$
$\Leftrightarrow \sin x=-3$ hoặc $\cot x=1$. Phương trình $\sin x=-3$ vô nghiệm.
Phương trình $\cot x=1$ có nghiệm là $x=\frac{\pi}{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Vậy phương trình có các nghiệm là $x=\frac{\pi}{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) $\tan\left( x-30^{\circ} \right)-\cot 50^{\circ}=0\Leftrightarrow \tan\left( x-30^{\circ} \right)=\cot 50^{\circ}\Leftrightarrow \tan\left( x-30^{\circ} \right)=\tan 40^{\circ}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x-30^{\circ}=40^{\circ}+k180^{\circ},k\in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=70^{\circ}+k180^{\circ},k\in \mathbb{Z}. \end{array}$
Vậy phương trình có các nghiệm là $x=70^{\circ}+k180^{\circ},k\in \mathbb{Z}$.